1 что называется графом

 

 

 

 

Графом называется алгебраическая система G (V, X), где V множество вершин графа, а X множество ребер графа.Определение: Если направление ребер не указано, то граф называется неориентированным (н- графом) или просто графом. Граф G называется полным,если любые две его различные вершины соединены одним и только одним ребром. Полным является граф G2 на рис. 2.1, б. Таким образом, полный граф определяется только своими вершинами. Мультиграф — это граф, у которого пара вершин соединены несколькими ребрами. А такие ребра, которые соединяют одну и ту же пару вершин, называют кратными. Две различные вершины графа, соединенные ребром, называются смежными. Граф называется тривиальным. Можно расширить полный граф до полного графа с петлями, добавляя петлю в каждой вершине (рис.4.6). В ориентированном полном графе имеются пары ребер, по одному в каждом направлении, соединяющие любые две различные вершины. Графом называется пара (V,E), где V - конечное множество вершин, а E - набор неупорядоченных и упорядоченных пар вершин. Обозначим граф G(V,E). Неупорядоченная пара вершин называется ребром, упорядоченная - дугой. 1 Граф и его подграфы. Неориентированный граф без петель и кратных ребер называется обыкновенным графом. Антписимметрическим графом называется такой граф, для которого справедливо следующее условие: если то в множестве А нет противоположно ориентированной дуги, т. е. Очевидно, что в антисимметрическом графе нет петель. 1.2.

Виды графов. Схема графа, состоящая из «изолированных» вершин, называется нулевым графом. (рис.

2). Графы, в которых не построены все возможные ребра, называются неполными графами. (рис.3). Если Х представляет собой упорядоченные пары (т. Е. X подмножество декартова произведения VV), то граф называется ориентированным, а пары v,w называют дугами. Ситуация, соответствующая моменту, когда рукопожатия еще не совершались, представляет собой точечную схему, изображенную на рисунке 2. Такая схема, состоящая из «изолированных» вершин, называется нулевым графом. Дополнительным графом, или дополнением, к обыкновенному графу G называется граф G , у которого множество вершин то же, что у G, и две различные вершины смежны тогда и только тогда, когда они не смежны в G. Например, On Kn . Симметричный граф (или транзитивный относительно дуг граф) — граф G, для любых двух пар смежных вершин которого u 1—v1 и u2—v2 имеется автоморфизм: f : V(G) V(G). такой, что: f(u1) u2 and f(v 1) v2. Простым графом называется граф без петель и кратных ребер с конечным количеством вершин. Граф называется полным, если любая пара вершин соединена одним ребром. Если ребра из множества А ориентированы, что обычно показывается стрелкой, то они называются дугами, и граф с такими ребрами называется ориентированным графом (рис. 1.1 (а)). Если ребра не имеют ориентации, то граф называется неориентированным (рис. 1.1(6) Опр. 4. Две вершины называются смежными, если они соединены ребром (дугой). Смежные вершины называются граничными вершинами соответствующего ребра (дуги), а это ребро (дуга) инцидентным соответствующим вершинам. Итак, эйлеровым графом называется граф, в котором можно обойти все вершины и при этом пройти одно ребро только один раз. В нём каждая вершина должна иметь только чётное число рёбер. Граф G называется деревом, если он является связным и не имеет циклов. Граф G, все компоненты связности которого являются деревьями, называется лесом. G3(X,V) - лес. Множество рёбер Е может быть пустым (рис. 1.3.1). Такой граф называется нуль- графом и обозначается . рис. 1.3.1 Нуль-граф. Если же множество вершин V пустое, то пустым является также множество Е. Такой граф называется пустым. 1. Ситуация, соответствующая моменту, когда рукопожатия ещ не совер-шались, представляет собой точечную схему, изображнную на рисунке 3 a). Та-кая схема, состоящая из «изолированных» вершин, называется нулевым графом. ТЕОРИЯ ГРАФОВ. Определение простого графа. Простым графом G называется пара множеств (V,E), где. V не пустое, конечное множество элементов, называемых вершинами. Графически это множество изображается точками. Маршрутом в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершиной ребром. Цепью называется маршрут без повторяющихся рёбер. Ребра ориентированного графа называются дугами. Соответствующие вершины ориентированного графа называют началом и концом. Если направления ребер не указываются, то граф называется неориентированным (или просто графом). Тогда пара называется неориентированным графом.Элементы множества называются вершинами графа, а элементы множества - — ребрами. Итак, граф - — это конечное множество вершин и множество ребер . Граф — абстрактный математический объект, представляющий собой множество вершин графа и набор рёбер, то есть соединений между парами вершин. Например, за множество вершин можно взять множество аэропортов, обслуживаемых некоторой авиакомпанией Основным объектом исследования этой теории являются графы. Графом называют геометрическую схему, представляющую собой систему линий, связывающих какие то заданные точки.Вершины и рёбра графа называются также элементами графа. Граф называется обыкновенным, если он не содержит петель и параллельных ребер. Граф называется полным, если любые две вершины являются смежными. Если для всех вершин d(v) k, то граф называется однородным графом степени k или k-однородным. Граф, в котором есть петли, называется псевдографом. Чаще всего встречаются неориентированные графы, у которых нет кратных ребер и нет петель. Такие графы называются обыкновенными. Схема такого вида называется графом. Она состоит из нескольких точек А, В, С, D, E, F, называемых вершинами, и нескольких соединяющих эти точки отрезков, таких, как АС или ЕВ, называемых ребрами графа. Граф задается множеством точек или вершин х1, х2,, хn и множеством линий или ребер a 1, a2, , am, соединяющих между собой все или часть точек. Формальное определение графа может быть дано следующим образом. Графом называется двойка вида. Если в графе все вершины соседние, граф называется полным. Граф с одной вершиной и без ребер (состоящий из 1 точки вершины), называется тривиальным. Определение 4.1(3). Графы. Граф это структура, состоящая из множества вершин (узлов) и множества дуг, каждая из которых связывает пару узлов.С каждой дугой графа может быть связано какое-либо значение. Такой граф называется взвешенным графом. Совокупность множества Х вершин и множества Е связей между ними называется графом и обозначается G(X,E). Пример: Все графы на 4 вершинах. Двудольным графом называется граф Gamma, у которого множество вершин V разбивается на два подмножества V 1 и V2 несмежных между собой вершин, т. е. смежными могут быть только вершины, принадлежащие разным подмножествам. Частным графом Gb графа называется граф, в который входит лишь часть дуг графа G вместе с вершинами их соединяющими. Карта шоссейных дорог это граф. Дороги Саратовской области это подграф, а главные дороги это частный граф. Граф, содержащий только дуги, называется ориентированным (орграфом). Определение. Граф , у которого множество вершин и множество ребер являются множествами с мощностями , называют -графом. Пустым называется граф без рёбер. Полным называется граф, в котором каждые две вершины смежны. 1.9 Докажите, что граф является пустым тогда и только тогда, когда все его подграфы тоже пустые. Пустым называется граф без ребер. Полным называется граф, в котором каждые две вершины смежные.

Вершину v0 называют началом, vn - концом пути. Если v0 vn, то путь называют замкнутым. Число n называется длиной пути. Математически граф определяется как пара множеств (Х, Г). Определение: Если две вершины соединены направленным отрезком, то пара называется упорядоченной, а отрезок называется ребром графа. Полный подграф (некоторого графа) называется кликой (этого графа). 3.4 Двудольные графы. Двудольный граф (или биграф, или четный граф) — это граф G(V,Е), такой что множество V разбито на два непересекающихся множества V 1 и V2 (V1 ИV2 V V1 З V2) Смешанный граф обозначается . Любой из перечисленных видов графа может содержать одно или несколько рёбер, у которых оба конца сходятся в одной вершине, т.е. uij U, uij (xi, xj), i j. Такие рёбра называются петлями. Поэтому соответствующее ребро графа должно иметь направление, показывающее, какое всё же число меньше другого. То есть, порядок концов ребра существенен. Такой граф (с рёбрами, имеющими направление) называется ориентированным графом или орграфом. Вершины и рёбра графа называются также элементами графа, число вершин в графе — порядком, число рёбер — размером графа. Вершины и называются концевыми вершинами (или просто концами) ребра . Произвольную цепь ненулевой длины с совпадающими концами, все ребра которой попарно различны, будем называть замкнутой цепью. Неориентированный граф, не содержащий циклов, называют ациклическим графом. Определение и примеры графов. Определение 4.1.Графом называется Г X , R , где X — произвольное множество элементов, называемых вершинами , R X X X 2— бинарное отношение между элементами множества X , т. е. R — некоторое множество пар вида ( xi, xj) Графы K1,N называется Звездными графами, или Звездами. Легко видеть, что граф Kn,M является (NM, Nm)-Графом, т. е. имеет NM вершин и Nm ребер. Понятно, что существуют графы, которые можно одновременно отнести к нескольким типам. Определение 4.1.Графом называется Г X , R , где X — произвольное множество элементов, называемых вершинами , R X X X 2— бинарное отношение между элементами множества X , т. е. R — некоторое множество пар вида ( xi, xj), где xi, xj X . Определение графа. Графом называется пара , где — непустое конечное множество элементов, называемых вершинами, а — конечное семейство неупорядоченных пар элементов из (необязательно различных), называемых ребрами. Какой граф называется неориентированным в информатике? У него отношения между двумя концами ребра являются симметричными. Ребро просто соединяет их друг с другом. Такие дуги будем называть кратными, а граф, содержащий кратные дуги, часто называют мультиграфом (рис. 3). Если подчеркивается, что в данном графе нет кратных дуг, то он называется графом без кратных дуг. Граф с дугами называется ориентированным графом или орграфом (рис. 17.4, б). Ребро (дуга), оба конца которого связаны с одной и той же вершиной, называется петлей (рис. 17.5).

Недавно написанные: